五、计数原理基础

1.和差倍问题

和差问题：大数=(和+差)÷2       小数=(和-差)÷2

和倍问题：大数=小数×倍数       小数=和÷（倍数+1）

差倍问题：小数=差÷(倍数-1)     大数=小数×倍数

例1 (浙江2021A－61)甲队参加四场篮球比赛，前两场场均得分为第三场得分的4(3)，第四场得72分，是第三场得分的0.9倍。问甲队所有比赛平均每场得多少分：

A.64    B.66    C.68    D.72

例1【解析】第三场得分为72÷0.9＝80分，四分之三为60，因此前两场得分和为120，四场得分为272÷4＝68分，因此选C。同时可以用尾数法，四场总得分尾数为2，仅有C满足。

例2 (浙江2016－17)某地居民用水价格分二级阶梯，户年用水量在0～180(含)吨的水价5元/吨；180吨以上的水价7元/吨。户内人口在5人以上的，每多1人，阶梯水量标准增加30吨。老张家5人，老李家6人，去年用水量都是210吨。问老李家的人均水费比老张家少约多少元？

A.12    B.35    C.47    D.60

例2【解析】因为老李家有6人，因此老李家的高阶水费点位210吨，所以老李家的人均水费为210×5÷6＝175元，老张家的人均水费为(180×5＋30×7)÷5＝222元，则所求为222－175＝47元，因此选C。

2.盈亏问题

此类问题的情景大致为：在分物品的时候，如果每份多一些物品就不够（不够叫亏），如果每份少一些物品就有剩余（剩余叫盈）。

分配结果差÷分配数量差＝份数

一次盈，一次亏：(盈＋亏)÷(两次每人分配数的差)＝人数

两次都有盈：(大盈－小盈)÷(两次每人分配数的差)＝人数

两次都是亏：(大亏－小亏)÷(两次每人分配数的差)＝人数

例3 (安徽2013－29)出租车队去机场接某会议的参与者，如果每车坐3名参与者，则需另外安排一辆大巴送走余下的50人，如每车坐4名参与者，则最后正好多出3辆空车。则该车队有(　　)辆出租车？

A.50    B.55    C.60    D.62

例4 某单位招待所有若干间房间，现在安排一支考察队的队员住宿，若每间住3人，则有2人无房可住；若每间住4人，则有一间房间不空也不满，则该招待所的房间最多有(　　)

A.4间          B.5间          C.6间          D.7间

例4【解析】不空也不满的人数有1、2、3三种可能，最多为5，此时人数为17人，选B。

3.鸡兔同笼原理

兔数=(总脚数-鸡脚数×总头数)÷(兔脚数-鸡脚数)

鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)

例5 有若干只鸡和兔子，它们共有100个头，240只脚，鸡和兔各有多少只？

A.70，30      B.80，20      C.60，40      D.40，60

例5 【解析】平时大家都会用二元一次方程组，这太慢。看一下鸡兔同笼原理的核心思想：假设每只鸡都是“金鸡独立”一只脚站着，而每只兔子都用两只脚站着。那么地上只有一半的脚240÷2＝120(只)。在120这个数里，兔子的头数相当于算了两次。因此从120减去总头数100，剩下的就是兔子头数120－100＝20，鸡有80只，选B。

上面的计算，可以归结为下面算式：总脚数÷2－总头数＝兔子数。

例6 (浙江2017B－21)小明负责将某农场的鸡蛋运送到小卖部。按照规定，每送到1枚完整无损的鸡蛋，可得运费0.1元；若鸡蛋有损，不仅得不到该鸡蛋的运费，每破损一枚鸡蛋还要赔偿0.4元。小明10月份共运送鸡蛋25000枚，获得运费2480元。那么，在运送的过程中，鸡蛋破损了：

A.20枚         B.30枚         C.40枚         D.50枚

例6【解析】简单的鸡兔同笼问题，如果小明运送鸡蛋无破损，则应该挣到2500元，可实际挣到2480，差了20元。因为每当有一枚鸡蛋破损时，小明损失0.1＋0.4＝0.5元，因此一共破损了40枚鸡蛋，因此选C。