五、计数原理基础

4.容斥原理

两集合：A＋B＝A∪B＋A∩B

三集合：A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C

三倍区法：结合文氏图，有A＋B＋C＝x＋2y＋3z；A∪B∪C＝x＋y＋z。其中x、y、z分别表示只满足其中一种、只满足其中两种和三种都满足的。

例7 一名外国游客到北京旅游，他要么上午出去游玩，下午在旅馆休息；要么上午休息，下午出去游玩，而下雨天他只能一天都呆在屋里。期间，不下雨的天数是12天，他上午呆在旅馆的天数为8天，下午呆在旅馆的天数为12天，他在北京共呆了(　　)

A.16天    B.20天    C.22天    D.24天

例7【解析】上午呆的天数＋下午呆的天数－全天都呆的天数(即下雨天数)＝居住时间，8＋12－(居住时间－12)＝居住时间，居住时间＝16，选A。

秒杀：在宾馆呆了20个半天，出去玩了12个半天，所以一共呆了32个半天，选A。

例8 (浙江事业2019上－46)380人投票从甲、乙、丙三个方案中选出一个。规定得票最多的方案当选。当投票人数达到265时，选择甲方案的人是丙方案的3倍，选择乙方案的人比丙方案的多10人。假设每人都要投票，问接下来的投票中，没有选择丙方案的不超过多少票，丙方案一定能胜出？

A.6    B.7    C.8    D.9

例8【解析】假设投票人数到265时，选择丙方案有x人，则甲方案有3x人，乙方案有x＋10人，因此5x＋10＝265，因此x＝51，3x＝153，比丙方案多102人，还余115张选票，也就是丙方案要获胜，首先要抹平与甲方案之间102的差距，还余13张选票，最极端情况就算甲获得6张，丙方案也一定能获胜，因此选A。

容斥原理本身也会衍生出很多细化题型，比如多集合反向构造、最不利构造、构造数列解决最值问题等，这些细化题型才是我们需要重点攻克的目标，也是考场拉开分差的题目，此处只是带大家了解简单题型考点就不展开细讲了。

5.抽屉原理

抽屉原理一：把n＋1只苹果放到n个抽屉里去，那么必定有一个抽屉里至少放进两个苹果。

抽屉原理二：把n只苹果放到m个抽屉里去，那么必定有一个抽屉里至少放了[n÷m]＋1(当n＞m，且n不能被m整除时)或n÷m(当n能被m整除时)个苹果。

例9 (国家2007－49)从一副完整的扑克牌中，至少抽出多少张牌，才能保证至少6张牌的花色相同？

A.21    B.22    C.23    D.24

例9【解析】以花色为抽屉，最坏的情况就是每种花色都摸出5张，再加上大、小王共2张，此时再取出一张牌，则一定有一种花色有6张。所以至少取出23张牌，才能保证摸出的牌中有6张牌的颜色相同，选C。

例10 (浙江选调2020－2)箱子内有标号分别为1、2、3……25的25个乒乓球，问至少需要取出多少个乒乓球才能保证有两个的标号之差为6的倍数？

A.6    B.7    C.9    D.10

例10【解析】运气最坏情况是取了6个球，连续的标号，则没有相差6，再取一个，无论是几，都会和这6个数中其中之一差值为6的倍数，因此答案是B。