六、排列组合问题

要解决好排列、组合问题，首先要掌握加法原理和乘法原理，因为两个基本原理是公式推导和解应用问题的理论基础。关键是抓好“分类”或“分步”，而“顺序”是区分两者的分水岭，分类是加，分布是乘。

1.相邻问题捆绑法

相邻问题“捆绑”处理的策略对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来看作一个元素与其他元素排列，然后再对相邻元素之间进行排列。

例1 (国考2016－67)为加强机关文化建设，某市直机关在系统内举办演讲比赛，3个部门分别派出3、2、4名选手参加比赛，要求每个部门的参赛选手比赛顺序必须相连，问不同参赛顺序的种数在以下哪个范围之内(　　)

A.小于1000    B.1000～5000    C.5001～20000    D.大于20000

例1【解析】捆绑法，每个部门捆成一捆，再把每个部门参赛人数进行全排列，因此选B。

例2 (浙江2014B－48)四对情侣排成一队买演唱会门票，已知每对情侣必须排在一起，问共有多少种不同的排队顺序？

A.24种    B.96种    C.384种    D.40320种

例2【解析】捆绑法，且情侣之间还有顺序之分，因此选C。

2.不相邻问题插空法

不相邻问题的插位处理策略对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素在这些排好的元素之间及两端的空隙中插入。

例3 (国考2015－66)把12棵同样的松树和6棵同样的柏树种植在道路两侧，每侧种植9棵，要求每侧的柏树数量相等且不相邻，且道路起点和终点处两侧种植的都必须是松树。问有多少种不同的种植方法？

A.36    B.50    C.100    D.400

例3【解析】因为每次柏树数量相等，也就是每侧有3棵柏树，6棵松树。又因为柏树不能相邻，因此用插空法，6棵松树有5个空位置，将3棵柏树安插进去即可，因为松树和柏树都是一样的，所以没有次序之分，用组合公式C5(3)＝10，而两边可以不相同，所以不同的种植方法应该是10×10＝100，因此选C。

例4 (联考2020－1)某学习平台的学习内容由观看视频、阅读文章、收藏分享、论坛交流、考试答题五个部分组成。某学员要先后学完这五个部分，若观看视频和阅读文章不能连续进行，该学员学习顺序的选择有：

A.24种    B.72种    C.96种     D.120种

例4【解析】插空法，先排无限制的，A3(3)＝6，产生4个空位置，A4(2)＝12，所以共有6×12＝72种排列顺序，因此选B。

3.全面分配插板法

插板法：把n个相同元素分给m个不同的对象，每个对象至少 1 个元素，方法数共有种。

例5 (国家2010－46)某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问一共有多少种不同的发放方法？

A.7    B.9    C.10    D.12

例5【解析】每个部门的材料数分布可能情况：(9，9，12)，(9，10，11)，(10，10，10)，由于各个部门不一样，其中(9，9，12)的发放方法有3种，(9，10，11)的发放方法有6种，(10，10，10)的发放方法有1种，由依据加法原则可知，一共有3＋6＋1＝10种不同的发放方法，选C。

每部门先发8份，剩下6份中形成的5个空档中插入2块板，C5(2)＝10，选C。慎用枚举法。

例6 (国家2021－71)某企业选拔170多名优秀人才平均分配为7组参加培训。在选拔出的人才中，党员人数比非党员多3倍。接受培训的党员中的10%在培训结束后被随机派往甲单位等12个基层单位进一步锻炼。已知每个基层单位至少分配1人，问甲单位分配人数多于1的概率在以下哪个范围内？

A.不到14%    B.14%到17%之间    C.17%到20%之间    D.超过20%

例6 【解析】170多名人才要平均分配为7组，则一定能被7整除，只有175满足。因为党员人数比非党员多3倍，即党员：非党员＝4∶1，党员有140人，10%是14人，要分配到12个基层单位，相当于14个相同的球分配到12个不同的盒子里，方法数为在14个球内部形成的13个空位置里插入11个板子，放在分母上。为了满足题意，先给甲单位分配一人，然后剩下13个人分配到12个不同的盒子里，方法数为12个空位置插入11个板子，