判断推理之复合命题及其推理

常见的基本复合命题包括联言命题、选言命题、假言命题、负命题。

联言命题：A 且 B

选言命题：A 或 B

充分条件假言命题：A→B

必要条件假言命题：A←B

充分必要条件假言命题（等值命题）：A 当且仅当 B

负命题：¬A

一、翻译规则

翻译推理的第一步，是根据关联词判断逻辑关系的“箭头方向”，即明确谁是前提、谁是结论，这是后续推导的基础。

1.前→后（A→B）：充分条件的逻辑表达​

当出现“如果…那么…”、“只要…就…”、“所有…都…”、“若…则…”、“…是…的充分条件”、“为了…一定/必须…”等关联词时，遵循“前→后”的翻译规则。

核心原则：谁是充分条件，谁就放在箭头前面。

【例】“只要努力，就能成功”，“努力”是“成功”的充分条件，翻译为“努力→成功”；

“所有学生都要遵守纪律”中，“学生”是“遵守纪律”的充分条件，翻译为“学生→遵守纪律”。​

2.后→前（A←B）：必要条件的逻辑表达​

当出现“只有…才…”、“不…不…”、“除非…否则不…”、“…是…的基础/假设/前提/关键/必要条件/必不可少的条件”等关联词时，遵循“后→前”的翻译规则。

核心原则：谁是必不可少的条件，谁就放在箭头后面。

【例】“只有坚持，才能胜利”，“坚持”是“胜利”的必要条件，翻译为“胜利→坚持”；“健康是幸福生活的基础”中，“健康”是“幸福生活”的必要条件，翻译为“幸福生活→健康”。

【思考】“除非早睡，否则会困。”的翻译结果是什么？

A.困→早睡    B.¬困→早睡

 

正确答案为B，A错在逻辑关系词没找全，整理成后→前的形式应当是“除非早睡，否则不不会困”，所以正确翻译应该是：不困→早睡

3.“且”命题（A 且 B）——表示“两者同时成立”，等价关联词包括“…和…”、“虽然…但是…”、“…并且…”、“既…又…”、“不仅…而且…”。

真假判断遵循“同真为真，一假全假”——只有A和B均为真时，“A 且 B”才为真；只要有一个为假，整个命题即为假。

【例】“小明既聪明又努力”，若“小明不聪明”或“小明不努力”，则该命题均不成立。

“或”命题（A 或 B）——表示“两者至少一个成立”，等价关联词包括“…或者…”、“…和…至少有一个…”。

真假判断遵循“同假为假，一真为真”：只有A和B均为假时，“A 或 B”才为假；只要有一个为真，整个命题即为真。

【例】“周末去看电影或去爬山”，若既没看电影也没爬山，命题为假；只要做了其中一件，命题就为真。​

“要么…要么…”命题（要么 A 要么 B）​

表示“两者只能成立一个”，不存在“两者都成立”或“两者都不成立”的情况。

【例】“要么选A方案，要么选B方案”，意味着必须在A和B中选一个，且不能同时选，也不能都不选。​

“至多一个”命题（A 和 B 至多一个）​

表示“A和B不能同时成立”，逻辑上等价于“-A 或 -B”。

【例】“小明和小红至多一人参加比赛”，即“小明不参加” 或 “小红不参加”，涵盖“只有小明参加”、“只有小红参加”、“两人都不参加”三种情况。​

“当且仅当”命题（A 当且仅当 B）

表示A→B 且 B→A，即A能推出B，B也能推出A，A与B互为充分必要条件。

【例】“当且仅当丙不贪污，甲和乙贪污”，可以翻译为：丙不贪污→甲和乙贪污，也可以翻译为：甲和乙贪污→丙不贪污。

二、推理规则

1.逆否等价规则​

公式为：A→B 等价于 ¬B→¬A

推导逻辑为“肯前必肯后，否后必否前，否前肯后不必然”。

【例】“努力→成功”，可推出“不成功→不努力”；但“不努力”与“成功”可以推出的结果是不确定的，“不努力”无法推出“不成功”，“成功”也无法反推“一定努力”。

2.传递规则​

若存在“A→B”和“B→C”两个逻辑关系，可直接推出“A→C”，即“中间项B可串联前后逻辑”。若无法直接串联，可通过逆否等价转化后再尝试。

【例】“A→B”和“¬C→¬B”，逆否“¬C→¬B”得“B→C”，再串联为“A→B→C”，最终推出“A→C”。​

3.德摩根定律

公式为：¬（A 且 B） 等价于 ¬A 或 ¬B，¬（A 或 B） 等价于 ¬A 且 ¬B。

简单来说，“否定‘且’得‘或’，否定‘或’得‘且’，同时否定前后两项”。

【例】“说‘小明聪明且努力’是不对的”，等价于“小明不聪明 或 不努力”；“没有做到‘周末看电影或爬山’”，等价于“周末没看电影 且 没爬山”。​

4.鲁滨逊定律​

公式为：A→B 等价于 ¬A 或 B。

已知对A→B的否定为A 且 ¬B，再次否定得¬A 或 B，双重否定得肯定，故A→B 等价于 ¬A 或 B。

运用该定律可灵活转化逻辑表达式。例如将“努力→成功”转化为“¬努力 或 成功”，便于结合“或命题”的真假判断解题。​

真题演练

【例】某市已经建成规模化、功能设施比较完善的奶牛养殖示范小区和牧场园区88个。如果这些养殖示范小区和牧场园区实行统一配种的话，那么，也就会统一饲料配方、统一青贮、统一防疫、统一挤奶，并有专业技术人员进行各项技术服务。据此，我们可以推出，这些养殖示范小区和牧场园区

A.虽然没有实行统一饲料配方，但有可能实行统一青贮，或者统一防疫

B.如果统一饲料配方，那么就会实行统一配种

C.如果没有专业技术人员进行各项技术服务，那么也就没有实行统一配种

D.如果没有实行统一配种，那么也就没有实行统一饲料配方

【解析】C项是对后件的否定，否定后件否定前件。【答案】C

 

【例】除非不把理论当作教条，否则就会束缚思想。以下各项都表达了与题干相同的含义，除了：

A.如果不把理论当作教条，就不会束缚思想。

B.如果把理论当作教条，就会束缚思想。

C.只有束缚思想，才会把理论当作教条。

D.只有不把理论当作教条，才不会束缚思想。

【解析】“除非p，否则不q”等于“q→p”，即A：不把理论当作教条；B：不束缚思想。所以题干等价说法是：理论当作教条→束缚思想。据此可知，答案是A。【答案】A

 

【例】一颗恒星足够大且经过超新星爆发，才会坍缩为一颗中子星并伴随磁场增强。在这些中子星中，只有拥有强大磁场和高自转速度才能成为磁星。一般认为，磁星的磁场是在恒星变成中子星的首十秒透过炽热内核物质的对流所产生的，只有在对流现象发生期间拥有高自转速度（周期约10毫秒左右），产生的电流才会传遍整颗天体。

由此可以推出：

A.能演变成磁星的星体一定是中子星

B.拥有高自转速度的中子星会产生强大磁场

C.如果不经历超新星爆发，大质量恒星是不会成为中子星的

D.只要中子星的内核物质产生强烈对流，就会在整个星体内出现电流

【解析】题干关键句翻译：（1）恒星：足够大 且 经过超新星爆发←坍缩为一颗中子星并伴随磁场增强。（2）中子星：拥有强大磁场 且 高自转速度←成为磁星。（3）磁星：在对流现象发生期间拥有高自转速度←产生的电流会传遍整颗天体。C项否定了（1）的前件，故否定了后件，正确。A、B、D在原文中都没有对应。【答案】C

 

【例】古代一位国王和他的张、王、李、赵、钱五位将军，一同外出打猎，各人的箭上都伤刻有自己的姓氏。打猎中，一只鹿中箭倒下，但不知是何人所射。

张说：“或者是我射中的，或者是李将军射中的。”

王说：“不是钱将军射中的。”

李说：“如果不是赵将军射中的，那么一定是王将军射中的。”

赵说：“既不是我射中的，也不是王将军射中的。”

钱说：“既不是李将军射中的，也不是张将军射中的。”

国王让人把射中鹿的箭拿来，看了看，说：“你们五位将军的猜测，只有两个人的话是真的。”

请根据国王的话，判定以下哪项是真的：

A.张将军射中此鹿

B.王将军射中此鹿

C.李将军射中此鹿

D.钱将军射中此鹿

【解析】因为张与钱的话，李与赵的话互为矛盾，此四人中必有二真，那王的话必为假。张和钱的话是矛盾的，张的话“p或者q”；钱的话恰好具有“非p并且非q”的形式。李和赵的话也是矛盾的，李的话“如果非p，那么q”，赵的话恰好具有“非p并且非q”的形式。上述两对矛盾中，必有二真二假，那么，剩下王将军所说的话就一定是假话，那就可以断定是钱将军射中此鹿的。【答案】D